Matrices Aleatorias

Temario

1. Introducción y motivaciones.
2. El model de Wigner y la ley del semi-círculo.
3. La ley de Marchenko-Pastur.
4. La densidad conjunta de eigenvalores.
5. El núcleo de la densidad conjunta.
6. Procesos determinantales.
7. Comportamiento asintótico del núcleo.
8. Cálculo de probabilidades y determinantes de Fredholm.
9. La ley de Tracy-Widom.
10. Relación con la probalidad libre.

Objetivos

El curso tiene como finalidad comprender y manejar las principales técnicas y métodos que han desarrollado para estudiar el conjunto de eigenvalores de varios modelos de matrices aleatorias. Dichos métodos abarcan el análisis de la matriz en dimensiones finitas y el comportamientos asintóticos de las fórmulas. Además, se busca comprender la conexión de esta teoría con otras ideas matemáticas y fenómenos físicos.

Notas

• Introducción: PDF
  
  
• Ley del semi-círculo: PDF
  
  
• La ley de Marchenko-Pastur: PDF
  
  
• Densidad conjunta de eigenvalores: PDF
  
  
• Núcleo de la densidad: PDF
  
  
• Análisis asintótico: PDF
  
  
• Determinante de Fredholm: PDF
  
  

Videos

• Intro 1: Video
  
  
• Intro 2 (matrices aleatorias): Video
  
  
• Ley del semicirculo: Video
  
  
• Marchenko-Pastur: Video 1
  
  
• Marchenko-Pastur: Video 2
  
  
• Densidad conjunta: Video 1
  
  
• Densidad conjunta: Video 2
  
  
• Núcleo de la densidad: Video
  
  
• Análisis asintótico: Video
  
  
• Determinante de Fredholm: Video
  
  
• Tracy-Widom: Video
  
  
• Free Probability: Video
  
  

Bibliografía

1. Random Matrices (2004). M.L. Mehta, Elsevier.
   
   
2. Log-gases and Random Matrices (2010). P.J. Forrester, London Mathematical Society Monographs.
   
   
3. Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices (2010). Z. Bai and J.W. Silverstein, Springer.
   
   
4. Topics in Random Matrix Theory (2012). T. Tao, American Mathematical Society.
   
   
5. Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A Riemann-Hilbert Approach (1998). P. Deift, American Mathematical Society.
   
   
6. An Introduction to Random Matrices (2010). G.W. Anderson, A. Guionnet and O. Zeitouni, Cambridge.
   
   
7. Zeros of Gaussian Analytic Functions and Determinantal Point Processes (2009). J.B. Hough, M. Krishnapur, Y. Peres and B. Virág, American Mathematical Society.